빅데이터분석기사 필기 이론 학습 | 모두의 문제집

판단 기준

변수 $j$ 의 중심화와 표준화는 다음과 같다.

x_{ij}^{(c)}=x_{ij}-\bar{x}_j,\qquad z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{s_j}

평균 $\bar{x}_j$ 와 표준편차 $s_j$ 는 훈련 데이터에서만 계산한다. $s_j=0$ 인 상수 변수는 표준화할 수 없고 분산 정보도 없으므로 원인을 확인한 뒤 PCA 입력에서 제외하는 것이 일반적이다. 이상값은 평균·표준편차와 공분산을 크게 바꿀 수 있으므로 원천 확인과 강건한 전처리를 먼저 검토한다.

기준	공분산행렬 PCA	상관행렬 PCA
입력	중심화한 원래 척도	보통 평균 0·표준편차 1로 표준화
적합 상황	단위가 같고 분산 크기 자체가 의미 있음	단위·분산 차이가 커 직접 비교가 어려움
주의점	큰 분산 변수가 성분을 지배할 수 있음	모든 변수를 같은 분산으로 맞추는 판단이 필요
고유값 합	원변수 총분산	표준화한 변수 수 $p$ 와 같음

표준화가 항상 정답은 아니다. 같은 단위에서 변동 폭 자체가 중요하면 공분산행렬이 목적에 더 맞을 수 있다. 반대로 원, 회, 초처럼 단위가 다른 변수를 그대로 넣으면 단위 선택이 결과를 지배할 수 있다.

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헷갈리는 개념

구분	의미	크기·단위
고유벡터 계수	성분을 만드는 변수별 가중치 $v_{jk}$	보통 한 고유벡터의 제곱합이 1
상관 적재량	원변수와 주성분 점수의 상관	-1에서 1 사이
주성분 점수	관측치별 성분 좌표 $t_{ik}$	관측치마다 다름

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대표 계산·예제

중심화된 데이터 행렬을 $\mathbf{X}_c\in\mathbb{R}^{n\times p}$ 라 하면 표본 공분산행렬과 고유값 문제는 다음과 같다.

\mathbf{S}=\frac{1}{n-1}\mathbf{X}_c^\mathsf{T}\mathbf{X}_c,\qquad \mathbf{S}\mathbf{v}_k=\lambda_k\mathbf{v}_k

고유벡터 $\mathbf{v}_k$ : $k$ 번째 주성분의 방향이며 보통 길이가 1이고 서로 직교한다.
고유값 $\lambda_k$ : 해당 주성분 점수의 표본 분산이다. 공분산행렬은 양의 준정부호이므로 고유값은 0 이상이다.
주성분 점수 $t_{ik}$ : 관측치 $i$ 를 $k$ 번째 방향에 투영한 좌표다.

t_{ik}=(\mathbf{x}_i-\bar{\mathbf{x}})^\mathsf{T}\mathbf{v}_k,\qquad \mathbf{T}_q=\mathbf{X}_c\mathbf{V}_q

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시험 직전 요약장

차원 축소와 주성분분석

판단 기준

헷갈리는 개념

대표 계산·예제

내 최근 연습 오답