시계열 모형과 정상성

핵심 요약

시계열에서는 관측 순서 자체가 정보다. 임의로 행을 섞으면 미래 정보가 과거 학습에 들어가고 실제 운영 성능을 과대평가할 수 있다. 시간 간격·누락·중복·시간대·달력·자료 개정 여부를 먼저 확인하고, 각 예측 기준 시점에 실제로 알 수 있었던 값만 사용한다.

AR은 과거 관측값, MA는 현재·과거 혁신오차, ARIMA는 차분한 자료의 ARMA 구조를 모델링한다. 정상성 검정 하나나 ACF/PACF 모양만으로 모형을 확정하지 않는다. 변환·차분→후보 생성→시간순 검증→잔차 진단→예측구간 보정→운영 모니터링을 연결한다.

flowchart TD
    A["시간축과 당시 정보"] --> B["변환과 필요한 차분"]
    B --> C["ACF·PACF와 후보"]
    C --> D["롤링 원점 평가"]
    D --> E["잔차와 구간 진단"]

학습 목표

• 추세·계절성·순환·불규칙 성분과 가법·승법 구조를 구분한다.
• 강한 정상성과 약한 정상성, 백색잡음과 독립·정규성을 구분한다.
• ADF·KPSS의 서로 다른 귀무가설과 차분·계절차분을 판단한다.
• AR 정상성, MA 가역성과 ARIMA·SARIMA 차수의 의미를 설명한다.
• ACF·PACF·정보기준·Ljung–Box로 후보와 잔차를 진단한다.
• 다단계 점예측·예측구간을 계산하고 롤링 원점 평가를 설계한다.

1. 시간축과 데이터 품질

시계열의 한 행은 단순 표본이 아니라 특정 시점의 상태다. 다음 항목을 모델링 전에 고정한다.

성분과 결합 구조

• 추세: 장기적인 수준 변화
• 계절성: 고정 주기 s로 반복되는 패턴
• 순환: 고정되지 않은 장기 파동
• 불규칙: 남은 예측 불가능 변동

가법 모형 Y=T+S+R은 계절 변동폭이 수준과 대체로 무관할 때, 승법 모형 Y=T×S×R은 수준이 커질수록 변동폭도 커질 때 후보가 된다. 양수 자료의 로그·Box–Cox 변환은 승법 구조를 가법에 가깝게 만들고 분산을 안정화할 수 있다. 로그 예측을 원척도로 되돌릴 때 exp(평균 로그예측)은 일반적으로 원척도 평균과 같지 않으므로 편향 보정과 구간 변환 방식을 확인한다.

2. 정상성과 백색잡음

강한 정상성은 모든 유한차원 결합분포가 시간 이동에 불변임을 뜻한다. 실무에서 자주 쓰는 약한 정상성은 2차 모멘트가 다음을 만족한다.

E(Yₜ)=μ
Var(Yₜ)=γ(0)<∞
Cov(Yₜ,Yₜ₋ₖ)=γ(k)  # 절대시점이 아니라 시차 k에만 의존
ρ(k)=γ(k)/γ(0)

약한 정상성이 모든 관측값이 같다는 뜻은 아니다. 평균·분산·자기공분산 구조가 시간에 따라 안정적이라는 뜻이다.

백색잡음 εₜ은 보통 평균 0, 일정한 유한분산, 서로 다른 시점 간 공분산 0을 갖는다. 무상관은 일반적으로 독립과 같지 않고, 백색잡음이 반드시 정규분포일 필요도 없다. 정규 백색잡음처럼 추가 조건이 있을 때 우도·예측구간 계산이 단순해진다.

3. 정상성 진단과 차분

눈으로 추세·분산·계절·구조변화를 확인하고 ACF, 단위근·정상성 검정을 함께 본다.

ADF 기각·KPSS 비기각이면 정상성에 비교적 일관된 근거, ADF 비기각·KPSS 기각이면 비정상성에 비교적 일관된 근거다. 둘이 같은 방향의 결론을 주지 않으면 표본 크기, 구조변화, 계절성, 결정적 추세와 검정 설정을 재검토한다. p-value 하나로 정상성을 증명하지 않는다.

후진연산자 B Yₜ=Yₜ₋₁를 쓰면 다음과 같다.

1차 차분:       ΔYₜ=(1-B)Yₜ=Yₜ-Yₜ₋₁
계절 차분:      ΔₛYₜ=(1-Bˢ)Yₜ=Yₜ-Yₜ₋ₛ
일반 차분:      Wₜ=(1-B)ᵈ(1-Bˢ)ᴰYₜ

결정적 선형추세는 추세항 회귀로 제거할 수 있고, 확률적 추세·단위근은 차분이 더 적합할 수 있다. 1차 차분과 계절차분을 무조건 함께 적용하지 않는다. 과차분은 분산을 키우고 lag 1의 강한 음의 자기상관, 불필요한 MA 성분과 장기정보 손실을 만들 수 있다. 차분한 모형의 예측은 원 수준으로 누적 복원해야 한다.

4. AR·MA·ARIMA의 조건

AR(1)

Yₜ=c+φYₜ₋₁+εₜ,   εₜ~WN(0,σ²ε)
|φ|<1이면 약한 정상
평균 μ=c/(1-φ)
분산 Var(Yₜ)=σ²ε/(1-φ²)
ACF ρ(k)=φᵏ

φ=1이면 단위근 확률보행 구조가 되어 정상 AR(1)이 아니다. 일반 AR(p)의 정상·인과 조건은 AR 다항식 1-φ₁z-…-φₚzᵖ=0의 모든 근이 단위원 밖에 있는 것이다.

MA와 가역성

MA(q): Yₜ=μ+εₜ+θ₁εₜ₋₁+…+θqεₜ₋q

유한차수 MA(q)는 백색잡음의 유한 선형결합이라 정상이다. 그러나 모수의 유일한 표현과 과거 관측값으로 혁신오차를 복원하려면 가역성이 필요하다. 위의 +θB 부호 관례에서 MA 다항식의 근이 단위원 밖에 있어야 하며 MA(1)은 |θ|<1이다. 소프트웨어가 -θB 부호를 쓰기도 하므로 계수 부호 정의를 확인한다.

“절단”은 모집단 이론 패턴이다. 유한 표본의 ACF/PACF는 잡음 때문에 정확히 0이 되지 않는다. 대략적인 백색잡음 신뢰한계 ±1.96/√n도 각 시차의 근사치이며, 여러 시차를 동시에 보는 다중성·모수 추정 효과를 무시한다.

5. ARIMA와 SARIMA 표기

ARIMA(p,d,q)는 원 시계열을 d회 비계절 차분한 뒤 ARMA(p,q)를 적합한다.

• p: 비계절 AR 차수
• d: 비계절 차분 차수
• q: 비계절 MA 차수

계절 주기 s가 있으면 다음 표기를 쓴다.

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)ₛ
P: 계절 AR 차수, D: 계절 차분 차수, Q: 계절 MA 차수
s: 계절 주기  예) 월별 연간 계절성 s=12, 주별 연간 계절성은 보통 약 52

주별 연간 계절성은 달력상 52주와 윤주·공휴일 정렬 문제를 확인한다. 긴·복수 계절성에는 Fourier 항, 상태공간·지수평활, TBATS 등 다른 구조가 더 적합할 수 있다.

6. ACF/PACF·정보기준과 후보 선택

1. 원자료와 변환자료의 추세·계절·분산·구조변화를 시각 진단한다.
2. ADF·KPSS와 도메인 지식으로 d, D 후보를 만든다.
3. 차분 후 ACF/PACF로 p,q,P,Q의 작은 후보 범위를 만든다.
4. 정상성·가역성 조건을 만족하는 후보를 적합한다.
5. AIC·AICc·BIC, 롤링 예측오차와 잔차 진단을 함께 비교한다.

AIC·AICc·BIC는 같은 반응자료·우도 정의를 사용한 후보 사이에서 낮을수록 좋다. AICc는 작은 표본에서 AIC의 복잡도 편향을 추가 보정한다. 정보기준 최저 모형이 반드시 미래 예측오차도 최저인 것은 아니므로 시간순 외부 검증을 우선한다.

7. AR(1) 점예측과 예측구간 계산

c=2, φ=0.8, 혁신분산 σ²ε=4인 정상 AR(1)을 보자.

장기평균 μ=2/(1-0.8)=10
정상분산 Var(Y)=4/(1-0.8²)=4/0.36≈11.111
h단계 점예측: Ŷₜ₊ₕ|ₜ=μ+φʰ(Yₜ-μ)

현재 Yₜ=15이면 1단계 예측은 10+0.8×5=14, 2단계 예측은 10+0.8²×5=13.2다. 예측지평이 길어질수록 점예측은 장기평균 10으로 회귀한다.

모수를 안다고 가정할 때 h단계 예측오차 분산은 다음과 같다.

Var(eₜ(h))=σ²ε Σᵢ₌₀ʰ⁻¹ φ²ⁱ
h=2: 4(1+0.8²)=6.56
정규 근사 95% 예측구간: 13.2±1.96√6.56
                       ≈13.2±5.02=[8.18,18.22]

실제 구간에는 모수 추정 불확실성·변환 역변환·외생변수 예측오차도 영향을 준다. 지평별 실제 포함률과 구간 폭을 점검하며, 긴 지평에서 일반적으로 불확실성이 증가한다.

8. 잔차 진단

좋은 점예측만으로 모형이 충분하지 않다. 혁신잔차를 시간순으로 확인한다.

Ljung–Box의 큰 p-value는 잔차가 독립·정규임을 증명하지 않는다. 선택한 lag, 계절 시차와 적합한 모수 수에 따른 자유도 조정을 명시한다.

9. 시간순 평가와 지표

MASE는 훈련 데이터의 naive 오차로 스케일을 정하므로 서로 다른 시계열 비교에 유용할 수 있다. 스케일 분모도 테스트 구간이 아니라 훈련 구간에서 계산한다. 계절성이 있으면 seasonal naive를 기준으로 쓸 수 있다.

10. 외생변수와 운영 경계

ARIMAX·동적회귀에 외생변수 Xₜ를 넣을 때는 예측 시점에 그 미래값이 알려지는지 확인한다.

• 달력·확정 가격·확정 프로모션은 미래에 알려진 변수일 수 있다.
• 실제 기온·경쟁사 매출·확정 전 프로모션 실적은 미래 예측 또는 시나리오가 필요하다.
• 외생변수의 미래 예측오차를 무시하면 전체 예측구간이 과도하게 좁아질 수 있다.
• 시차변수를 만들 때 정렬 오류, 발표 지연과 자료 개정으로 미래 정보가 섞이지 않게 한다.

구조변화·정책 변경·팬데믹처럼 생성과정이 바뀌면 과거 전체가 같은 모수라는 가정이 깨질 수 있다. 이동창, 변화점·개입 모형, 상태공간 모형과 재학습 주기를 검토하고 수준·오차·구간 포함률을 지속 모니터링한다.

11. 사례 적용

상황: 주간 주문량을 8주 앞까지 예측한다.

조건: 성장 추세, 연간 계절성, 자료 개정과 일부 미확정 프로모션이 있다.

판단: 당시 사용 가능했던 주문 빈티지를 주별로 정렬하고 누락·53주 달력을 확인한다. 로그·Box–Cox, 1차·계절 차분 후보를 ADF·KPSS와 함께 비교한다. ACF/PACF로 SARIMA 후보를 만들고 AICc와 1·4·8주 롤링 성능으로 선택한다. seasonal naive와 비교하며 Ljung–Box·잔차 분산·구간 포함률을 확인한다. 미확정 프로모션은 실제 미래값으로 넣지 않고 계획 시나리오별 예측을 낸다.

결론: 정상성 처리, 당시 정보 가용성, 지평별 외부 성능과 구간 보정이 모두 확인된 모형만 운영한다.

가법 분해에서는 관측값을 추세·계절·잔차의 합으로 표현한다. 분해된 성분은 패턴을 요약하지만 원인을 자동으로 설명하는 인과 성분은 아니다.

차분을 했다고 항상 정상성이 보장되지는 않으며 과차분도 피해야 한다.

시험 판단 포인트

• ADF의 귀무가설은 단위근, KPSS의 귀무가설은 수준·추세 정상성이다.
• AR(1)은 |φ|<1일 때 정상이고 MA(q)는 정상성과 별개로 가역성 조건을 본다.
• ARIMA의 d, SARIMA의 D는 각각 비계절·계절 차분 차수다.
• AR은 PACF, MA는 ACF의 이론적 절단 패턴이 대표 후보 판단이다.
• Ljung–Box의 작은 p-value는 잔차 자기상관이 공동으로 남았다는 근거다.
• 예측은 과거로 적합하고 미래 지평별 롤링 평가와 기준모형으로 검증한다.

자주 틀리는 부분

• 정상성을 “값이 일정함” 또는 “정규분포임”으로 해석하지 않는다.
• ADF와 KPSS의 귀무가설을 같은 방향으로 외우지 않는다.
• MA(q)를 관측값 단순 이동평균 평활과 혼동하지 않는다.
• 차분 횟수가 많을수록 좋다고 보거나 과차분 징후를 무시하지 않는다.
• 정보기준 최저를 미래 성능 최고로 단정하지 않는다.
• 미래에 알 수 없는 외생변수의 실제값이나 전체 기간 스케일을 사용하지 않는다.