범주형 자료 분석

핵심 요약

범주형 자료는 평균보다 범주별 빈도와 비율이 핵심이다. 명목형은 순서가 없고, 서열형은 순서는 있지만 범주 간 간격이 같다고 보장되지 않는다. 한 변수의 분포가 기준과 같은지, 한 모집단의 두 변수가 독립인지, 여러 모집단의 분포가 같은지는 서로 다른 질문이다.

Pearson 카이제곱 검정은 귀무가설 아래의 기대빈도와 관측빈도의 차이를 합산한다. 통계량과 p-value는 차이가 어느 셀에서 어떤 방향으로 생겼는지, 연관이 얼마나 큰지 알려주지 않는다. 따라서 조건부 비율→잔차→효과크기→설계·다중비교 점검을 함께 수행한다.

학습 목표

• 명목형·서열형 자료와 결합·주변·조건부 비율을 구분한다.
• 적합도·독립성·동질성 검정의 질문, 표본구조와 자유도를 판별한다.
• 기대빈도, 카이제곱 통계량, 잔차와 크래머 V를 계산한다.
• 희소 셀에서 Fisher 정확검정·정확/Monte Carlo 방법을 선택한다.
• 짝지어진 이진 자료에 McNemar 검정을 적용해야 하는 이유를 설명한다.
• 유의성·효과크기·방향·인과성을 분리하고 사후비교를 보정한다.

1. 자료 요약과 비율의 분모

교차표의 셀 빈도 nᵢⱼ를 전체 n으로 나누면 결합비율, 행·열 합계를 전체로 나누면 주변비율, 특정 행 또는 열 합계로 나누면 조건부 비율이다. 같은 셀도 분모에 따라 질문이 달라진다.

절대 건수만 비교하면 집단 크기 차이를 연관으로 오해할 수 있다. 분석 단위, 중복 관측, 결측을 별도 범주로 둘지 제외할지, 가중치 적용 여부도 표를 만들기 전에 정한다.

2. 세 카이제곱 검정의 구분

적합도 검정에서 기준분포의 모수를 자료로 추정했다면 추정한 독립 모수 수만큼 자유도가 추가로 감소할 수 있다. 독립성과 동질성은 계산식이 같아도 표본을 어떻게 뽑았고 무엇을 일반화하는지가 다르다.

flowchart TD
    A["질문과 표본 구조"] --> B{"자료 구조"}
    B --> C["1변수와 기준분포: 적합도"]
    B --> D["독립 표본의 교차표"]
    B --> E["짝지어진 이진: McNemar"]
    D --> F{"희소 셀"}
    F -->|예| G["Fisher 또는 정확 방법"]
    F -->|아니오| H["Pearson 카이제곱"]

서열형 자료에도 일반 카이제곱 검정을 적용할 수 있지만 범주의 순서 정보를 쓰지 않는다. 순서가 분석 목적에 중요하면 선형 추세 검정, 순위 기반 방법이나 서열 로지스틱 모형 등을 검토한다.

3. 기대빈도와 Pearson 카이제곱 통계량

독립성·동질성 검정의 기대빈도와 통계량은 다음과 같다.

Eᵢⱼ = (i행 합계 × j열 합계) / 전체 합계
χ² = ΣᵢΣⱼ (Oᵢⱼ-Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ
df = (r-1)(c-1)

요금제와 해지 여부의 관측표를 보자.

독립이면 A의 기대빈도는 해지·유지 모두 40×50/100=20, B는 모두 60×50/100=30이다.

따라서 χ²≈16.667, df=(2-1)(2-1)=1이고 p-value는 0.001보다 작다. 귀무가설을 기각할 강한 근거가 있지만, 이것만으로 요금제가 해지의 원인이라고 결론 내릴 수는 없다.

2×2 연속성 보정

일부 구현은 2×2 표에서 Yates 연속성 보정을 사용한다.

χ²Yates = Σ (|O-E|-0.5)² / E

보정은 보통 통계량을 줄이는 보수적 효과가 있다. 모든 2×2 표에 무조건 적용한다고 외우기보다 소프트웨어의 기본값, 표본 크기와 분석계획을 확인하고 보정 여부를 보고한다.

4. 적용 조건과 희소 셀

Pearson 카이제곱 근사는 다음 조건을 전제로 한다.

• 셀에는 평균·백분율이 아니라 서로 배타적인 범주의 빈도가 들어간다.
• 표본설계상 관측이 독립이며 한 관측치를 중복 집계하지 않는다.
• 기대빈도가 근사를 사용하기에 충분하고 구조적 0을 일반 셀처럼 취급하지 않는다.
• 표본추출, 가중치와 집락 구조가 일반화 대상에 맞는다.

“모든 셀의 관측빈도가 5 이상”이 기준이 아니다. 확인 대상은 기대빈도다. 널리 쓰는 경험적 점검은 기대빈도<1인 셀이 없고 기대빈도<5인 셀이 전체의 20% 이하인지 보는 것이지만, 이는 절대 법칙이 아니라 근사 적합성의 지침이다.

Fisher 정확검정은 주어진 주변합 아래 가능한 표들의 확률을 이용한다. “작은 표본이면 항상 Fisher, 큰 표본이면 항상 카이제곱”처럼 기계적으로 나누지 말고 표 크기·기대빈도·계산 가능성·검정 정의를 함께 확인한다.

5. 어느 셀이 다른가: 비율과 잔차

카이제곱 통계량은 제곱합이라 방향 정보를 잃는다. 먼저 행 조건부 비율을 비교하고 잔차로 셀의 기여를 본다.

Pearson 잔차: rᵢⱼ = (Oᵢⱼ-Eᵢⱼ)/√Eᵢⱼ
조정 표준화잔차: zᵢⱼ = (Oᵢⱼ-Eᵢⱼ) /
                  √[Eᵢⱼ(1-행비율ᵢ)(1-열비율ⱼ)]

예제의 A·해지 셀은 Pearson 잔차가 (30-20)/√20≈2.236으로 양수다. 즉 독립일 때보다 해지가 많이 관측됐다. 조정 표준화잔차는 10/√[20×0.6×0.5]≈4.082다. 음수면 기대보다 적게, 절댓값이 크면 전체 통계량에 크게 기여한 셀이다.

여러 셀의 잔차를 각각 검정하면 다중비교 문제가 생긴다. 사전에 관심 셀을 정하거나 Holm·Bonferroni·FDR 등 목적에 맞는 보정을 적용한다. 잔차 하나의 절댓값이 1.96을 넘었다는 이유만으로 보정 없이 다수 셀을 확정하지 않는다.

6. 관계의 크기와 방향

크래머 V

V = √[χ² / {n × min(r-1,c-1)}],   0 ≤ V ≤ 1

예제에서는 V=√[16.667/(100×1)]≈0.408이다. 2×2 표에서 크래머 V는 파이계수의 절댓값과 같다. V는 연관의 크기만 요약하고 부호·방향을 주지 않는다. “0.1·0.3·0.5” 같은 관행적 기준은 표 차원과 분야 맥락에 따라 달라질 수 있으므로 기계적으로 등급화하지 않는다.

2×2 표의 해석량

A를 노출집단, 해지를 사건으로 두면 다음과 같다.

위험차 RD = 0.750 - 0.333 = 0.417 = 41.7%p
위험비 RR = 0.750 / 0.333 ≈ 2.25
오즈비 OR = (30×40)/(10×20) = 6.00

위험비와 오즈비는 서로 다르다. 사건이 흔하면 OR이 RR보다 1에서 더 멀어질 수 있으므로 OR을 “위험이 6배”라고 바꾸어 말하지 않는다. 기준 행·열을 바꾸면 비율·비·오즈비의 방향도 바뀌므로 기준범주를 명시한다. 신뢰구간을 함께 제시하고 관찰자료의 연관을 인과효과로 해석하지 않는다.

7. 짝지어진 자료와 층화 자료

같은 사람의 전후 이진 응답은 두 관측이 연결돼 일반 독립성 검정의 독립 가정을 위반한다. McNemar 검정은 변화가 없는 쌍이 아니라 서로 반대 방향으로 바뀐 **불일치 쌍 b, c**를 비교한다.

McNemar χ² = (b-c)²/(b+c)
연속성 보정형 = (|b-c|-1)²/(b+c)

b+c가 작으면 정확 이항검정을 검토한다. 세 시점 이상 또는 범주가 둘보다 많으면 Cochran의 Q, 주변동질성 검정, GEE·혼합모형 등 설계에 맞는 방법이 필요할 수 있다.

연령층·지역처럼 제3변수에 따라 관계가 바뀌거나 집계에서 방향이 뒤집히는 Simpson 역설도 점검한다. 층별 표, Mantel–Haenszel 방법이나 회귀모형으로 교란을 조정할 수 있지만, 조정 변수 선정에는 연구설계와 인과 가정이 필요하다.

8. 해석·보고 절차

1. 분석 단위, 범주 정의, 결측·중복·가중치와 표본설계를 확정한다.
2. 빈도와 행·열 조건부 비율을 함께 표로 제시한다.
3. 적합도·독립성·동질성·대응 검정 중 질문에 맞는 방법을 선택한다.
4. 기대빈도·독립성·구조적 0을 확인하고 희소표 대안을 정한다.
5. 통계량·자유도·p-value와 사용한 보정·정확 방법을 보고한다.
6. 잔차와 보정된 사후비교로 차이가 난 셀을 찾는다.
7. 크래머 V와 2×2 효과량·신뢰구간으로 크기와 방향을 해석한다.
8. 교란·다중검정·실무 중요도·인과 해석 한계를 명시한다.

9. 사례 적용

상황: 세 구독 요금제와 해지 여부의 관계를 분석한다.

조건: 일부 요금제 표본이 작고, 고객 한 명이 여러 계정을 보유하며, 지역별 요금제 구성도 다르다.

판단: 계정이 아니라 고객을 분석 단위로 정하거나 고객 내 상관을 반영한다. 요금제별 해지율, 기대빈도와 구조적 0을 확인한다. 희소표에는 정확/Monte Carlo 방법을 검토하고, 유의하면 조정 잔차와 크래머 V를 보고한다. 지역별 층화표와 회귀모형으로 교란 가능성을 점검하며 여러 셀의 사후비교를 보정한다.

결론: p-value만으로 요금제의 효과를 선언하지 않고, 표본설계에 맞는 검정과 효과크기·방향·불확실성을 함께 제시한다.

조건부 비율은 분모가 핵심이다. 예시의 노출 집단 구매율은 $30/(30+70)=30%$, 비노출 집단은 $10/(10+90)=10%$다.

표본이 크면 작은 차이도 유의할 수 있으므로 효과크기와 조건부 비율을 함께 읽는다.

시험 판단 포인트

• 적합도는 한 변수와 기준분포, 독립성은 한 모집단의 두 변수, 동질성은 여러 집단의 분포를 비교한다.
• 독립성·동질성 검정은 질문과 표본추출 구조가 다르지만 기대빈도·자유도 계산은 같다.
• 기대빈도는 관측빈도가 아니라 귀무가설 아래의 셀 빈도다.
• 카이제곱 통계량은 방향을 주지 않으므로 조건부 비율과 잔차가 필요하다.
• 크래머 V는 연관 강도를 요약하지만 방향·인과성을 주지 않는다.
• 짝지어진 이진 자료는 일반 독립성 검정이 아니라 McNemar 검정을 검토한다.

자주 틀리는 부분

• 관측빈도 5가 아니라 기대빈도의 희소성을 확인한다.
• p-value가 크다고 독립이 증명됐다고 해석하지 않는다.
• p-value가 작다고 연관이 크거나 인과관계라고 단정하지 않는다.
• OR을 RR과 같은 뜻으로 읽거나 기준범주를 생략하지 않는다.
• 서열형 범주의 순서 정보를 일반 카이제곱이 활용한다고 보지 않는다.
• 여러 잔차를 보정 없이 반복 해석하지 않는다.