기술통계로 중심과 산포 해석

핵심 요약

기술통계는 관측된 자료의 중심, 산포, 상대 위치와 모양을 요약한다. 평균·표준편차는 모든 값의 크기를 사용해 극단값에 민감하고, 중앙값·사분위범위(IQR)는 순서와 가운데 50%를 사용해 극단값의 크기에 비교적 덜 민감하다.

통계량은 자료형, 측정 척도, 분포와 질문에 맞게 선택한다. 산술평균 외에도 빈도·중요도를 반영하는 가중평균, 곱셈 성장의 기하평균, 같은 거리를 이동한 속도처럼 비율을 요약하는 조화평균이 있지만 각각 적용 조건이 다르다.

분산의 분모는 파일이 “표본”이라고 불리는지만으로 정하지 않는다. 관측된 자료 자체를 기술할 때는 $n$으로 나눈 분산을 사용할 수 있고, 독립 표본으로 모집단 분산을 불편추정하려면 $n-1$을 사용한다. 표준편차는 개별 관측값의 산포이고, 표준오차는 추정량의 표본 간 변동을 나타낸다.

학습 목표

• 측정 척도와 분포에 맞는 중심·산포 통계량을 선택한다.
• 산술·가중·기하·조화평균의 적용 조건과 계산을 구분한다.
• 중앙값·최빈값·분위수·IQR·MAD의 의미와 경계를 설명한다.
• 모집단 기술분산과 불편 표본분산의 목적·분모를 구분한다.
• 표준편차·변동계수·z점수·표준오차를 계산하고 해석한다.
• 결측·가중치·반복 측정·반올림이 기술통계에 미치는 영향을 판정한다.

1. 측정 척도와 요약통계

우편번호 101, 102, 201의 평균은 계산할 수 있어도 “평균 우편번호”에 수량적 의미는 없다. 섭씨온도는 차이에는 의미가 있지만 20°C가 10°C의 두 배로 뜨겁다고 할 수 없으므로 변동계수처럼 비율을 전제로 한 요약에 적합하지 않다.

2. 중심을 나타내는 통계량

2.1 산술평균과 가중평균

관측값 $x_1,\ldots,x_n$의 산술평균과 가중치 $w_i$를 사용한 가중평균은 다음과 같다.

평균은 모든 값의 균형점이며 $\sum(x_i-\bar x)=0$을 만족한다. 극단값 하나가 합계와 평균을 크게 바꿀 수 있으므로 히스토그램·상자그림·중앙값과 함께 본다.

점수 70, 80, 90의 가중치가 각각 1, 2, 1이면 가중평균은 $(70+160+90)/4=80$이다. 빈도·노출량 가중치는 일반적으로 0 이상이어야 하며 가중치 합이 0이면 가중평균이 정의되지 않는다. 표본설계 가중치는 단순 빈도 가중과 의미가 다르므로 가중치 정의와 정규화 여부를 기록한다.

2.2 중앙값과 최빈값

중앙값은 값을 정렬했을 때 50% 위치에 해당하는 값이다. 관측 수가 홀수이면 가운데 값이고, 수치 자료의 관측 수가 짝수이면 흔히 가운데 두 값의 평균을 사용한다. 순서형 범주에서는 범주 코드를 산술평균하지 않고 중앙 범주의 위치와 사용한 규칙을 명시한다. 중앙값은 극단값의 크기보다 순서에 좌우되므로 소득·주택가격처럼 긴 꼬리가 있는 자료에서 전형적 위치를 나타내는 데 유용하다.

최빈값은 가장 자주 나타나는 값이다. 명목형에도 사용할 수 있고 최빈값이 여러 개인 다봉 분포나 모든 값의 빈도가 같은 경우가 있을 수 있다. “최빈값이 없다”는 판정은 연속 자료의 구간화·측정 정밀도에도 영향을 받는다.

2.3 기하평균과 조화평균

양의 값 $x_i$의 기하평균과 양의 비율을 요약하는 조화평균은 다음과 같다.

기간별 성장률 $r_i$는 성장배수 $1+r_i$를 기하평균한 뒤 1을 빼서 평균 복리수익률을 구한다. 한 기간에 10% 상승하고 다음 기간에 10% 하락하면 산술평균 수익률은 0%지만 평균 복리수익률은 $\sqrt{1.1\times0.9}-1\approx-0.5013%$다. 성장배수는 로그 기반 계산을 위해 양수여야 하며, -100% 수익은 자산이 0이 되어 이후의 일반 복리성장을 별도로 해석해야 한다.

같은 거리의 두 구간을 시속 60 km와 40 km로 이동했다면 평균 속도는 산술평균 50 km/h가 아니라 조화평균 $2/(1/60+1/40)=48$ km/h다. 같은 시간을 각 속도로 이동했다면 산술평균이 맞다. 조화평균은 0이 포함되면 역수가 정의되지 않고 음수·혼합 부호 자료에는 일반적인 속도·비율 해석이 맞지 않는다.

3. 산포와 강건한 요약

3.1 범위·IQR·MAD

범위, 사분위범위와 중앙값 절대편차(MAD)는 다음과 같다.

범위는 최솟값·최댓값 두 개에만 의존해 극단값에 매우 민감하다. IQR은 가운데 50%의 폭이고 MAD는 중앙값에서의 절대편차 중앙값이므로 강건한 산포 요약이다. 정규분포의 표준편차와 비교하려고 MAD에 약 1.4826을 곱하는 관례가 있지만, 원 MAD와 보정 MAD를 구분해 기록한다.

사분위수는 표본 위치를 보간하는 방법이 여러 가지라 작은 표본에서는 도구별 결과가 다를 수 있다. 계산 규칙을 정하고 중간값을 임의로 반올림하지 않는다. 모든 값이 같으면 범위·IQR·MAD는 0이다.

3.2 모집단 분산과 표본 분산

크기 $N$인 모집단의 분산과 크기 $n$인 독립 표본으로 모집단 분산을 불편추정하는 표본분산은 다음과 같다.

$n-1$은 같은 표본에서 $\bar x$를 추정해 편차 합이 0이라는 제약 하나가 생기므로 남는 자유도다. 독립·동일분포 표본에서 $s^2$은 모집단 분산의 불편추정량이다. $n=1$이면 분모가 0이어서 표본분산을 계산할 수 없다.

관측된 $n$개 행 자체의 기술적 분산만 요약하려면 분모 $n$을 사용할 수 있다. 따라서 “파일이 표본 자료이므로 무조건 $n-1$”이 아니라 관측 자료 자체를 기술하는지, 모집단 분산을 추정하는지를 구분한다. 표본표준편차 $s=\sqrt{s^2}$은 널리 쓰이지만 제곱근의 비선형성 때문에 모집단 표준편차의 정확한 불편추정량은 일반적으로 아니다.

분산은 원 단위의 제곱이고 표준편차는 원자료와 같은 단위다. 큰 값의 제곱이 들어가므로 둘 다 극단값에 민감하다.

3.3 표준편차와 변동계수

표준편차와 양의 비율척도에서 사용하는 변동계수는 다음과 같다.

CV는 양의 상수배에 변하지 않아 단위만 다른 같은 개념의 상대적 산포 비교에 유용하다. 그러나 평균이 0에 가까우면 값이 폭증하고, 평균이 음수이면 일반적인 상대 산포 해석이 어색하다. 섭씨·화씨처럼 0점이 임의적인 간격척도는 단위 변환에 상수 덧셈이 포함되어 CV가 달라지므로 비교하지 않는다.

같은 단위와 비슷한 평균을 가진 집단은 표준편차를 직접 비교할 수 있다. 서로 다른 의미의 변수에서 CV가 같다고 변동 원인이나 위험이 같다고 결론내리지 않는다.

4. 상대 위치와 추정량의 불확실성

4.1 z점수

표본평균과 표본표준편차를 사용하는 z점수는 다음과 같다.

$z=1.5$는 관측값이 표본평균보다 표본표준편차 1.5배만큼 높다는 뜻이다. 분포가 정규라는 뜻이나 상위 몇 퍼센트라는 뜻은 아니며, 백분위로 바꾸려면 분포 가정 또는 경험분포가 필요하다. $s=0$이면 모든 값이 같아 분모가 0이므로 z점수가 정의되지 않는다.

4.2 표준편차와 평균의 표준오차

독립·동일분포 표본에서 표본평균의 표준오차 추정값은 다음과 같다.

표준편차는 개별 관측값이 얼마나 퍼졌는지, 표준오차는 같은 방식으로 표본을 반복 추출했을 때 평균 추정값이 얼마나 변하는지를 나타낸다. $s=10$, $n=25$이면 $SE=10/5=2$다. 표본 수가 커져도 개별 자료의 표준편차가 자동으로 작아지는 것은 아니지만 평균의 표준오차는 독립 표본 조건에서 작아진다.

동일 고객의 반복 행이나 군집·시계열처럼 관측치가 독립이 아니면 $s/\sqrt n$을 그대로 사용하면 표준오차를 과소평가할 수 있다. 유효 표본 구조를 반영한 군집·시계열 방법이 필요하다.

5. 종합 계산 예

관측값이 $2,4,4,6,9$라고 하자.

1. 합계 25, $n=5$이므로 평균은 $\bar x=5$다.
2. 정렬된 가운데 값은 4이므로 중앙값은 4다.
3. 최빈값은 4, 범위는 $9-2=7$이다.
4. 편차는 $-3,-1,-1,1,4$이고 편차 제곱합은 $9+1+1+1+16=28$이다.
5. 이 다섯 값을 모집단 전체로 보면 분산은 $28/5=5.6$, 표준편차는 $\sqrt{5.6}\approx2.3664$다.
6. 모집단 분산을 추정하는 표본으로 보면 $s^2=28/4=7$, $s=\sqrt7\approx2.6458$이다.
7. 표본 기준으로 값 9의 z점수는 $(9-5)/\sqrt7\approx1.5119$다.
8. 표본평균의 단순 표준오차는 $\sqrt7/\sqrt5=\sqrt{1.4}\approx1.1832$다.

평균 5가 중앙값 4보다 크다는 사실은 큰 값 9의 영향을 의심하는 단서지만, 이것만으로 모집단 분포가 항상 오른쪽으로 치우쳤다고 확정하지 않는다. 히스토그램·상자그림·분위수를 함께 확인한다.

계산할 때는 결측값을 통계량별로 제외했는지 행 전체를 제외했는지, 사용한 유효 $n$, 가중치와 단위를 기록한다. 중간 단계는 충분한 정밀도를 유지하고 최종 보고 단계에서만 정한 자리수로 반올림한다.

6. 통계량 선택 절차

1. 분석 단위, 자료형, 측정 척도와 단위를 확인한다.
2. 결측·이상값·가중치·중복·반복 측정 구조를 점검한다.
3. 분포 그래프와 표본 수를 확인한다.
4. 중심 통계량과 짝을 이루는 산포 통계량을 선택한다.
5. 관측 자료 기술인지 모집단 추정인지에 따라 분산 분모를 정한다.
6. CV·기하·조화평균·z점수의 적용 경계를 확인한다.
7. 공식, 분모, 유효 표본 수, 단위, 반올림 규칙을 함께 보고한다.

7. 사례 적용

상황: 전자상거래 기업이 판매자별 월 매출의 대표 수준과 판매자 간 격차를 보고하려 한다. 대부분은 200만~800만 원이지만 소수 대형 판매자는 수억 원을 기록한다.

판단 과정:

1. 판매자 한 명당 한 행인지, 환불·중복 집계와 결측을 확인한다.
2. 히스토그램·상자그림과 표본 수를 확인한다.
3. 전형적인 판매자의 수준은 중앙값, 가운데 50%의 폭은 IQR로 요약한다.
4. 전체 매출 규모와 회계적 합산에는 합계·평균도 함께 제시한다.
5. 월별 복리 성장률을 요약할 때는 성장배수의 기하평균을 사용하고, 단순 산술평균과 구분한다.

결론: 중앙값·IQR을 기본 대표 요약으로 사용하고 평균·표준편차·상위 분위수·합계를 목적에 맞게 병기한다. 통계량 하나를 모든 질문의 대표값으로 사용하지 않는다.

오답 함정: 평균이 정확히 계산됐다는 이유만으로 대부분의 판매자가 평균 수준의 매출을 올린다고 해석하지 않는다.

오른쪽 꼬리의 큰 값이 평균을 꼬리 방향으로 끌어올려 평균이 중앙값보다 커질 수 있다. 평균과 중앙값의 차이는 왜도 신호지만 분포 그림과 표본 크기를 함께 확인한다.

두 분포의 평균은 50으로 같아도 표준편차가 5와 15로 다르면 변동성과 위험이 다르다. 중심만 보고 집단을 같다고 판단하지 않고 산포·꼬리·이상값을 함께 본다.

시험 판단 포인트

• 명목형 숫자 코드는 평균보다 빈도·비율·최빈값으로 요약한다.
• 평균은 모든 값의 크기를 사용하므로 극단값에 민감하다.
• 가중평균은 가중치 정의와 합을 확인한다.
• 복리 성장에는 성장배수의 기하평균, 같은 거리의 평균 속도에는 조화평균이 적절하다.
• 모집단 기술분산은 $N$, 모집단 분산의 불편 표본추정은 $n-1$로 나눈다.
• $n=1$이면 불편 표본분산을 계산할 수 없다.
• 표본분산은 불편추정량이지만 그 제곱근인 표본표준편차는 일반적으로 정확한 불편추정량이 아니다.
• 분산은 원단위의 제곱, 표준편차·IQR·표준오차는 원자료와 같은 단위다.
• CV는 양의 비율척도에서 평균이 0에서 충분히 떨어진 경우에 사용한다.
• z점수는 상대 위치이며 정규성이나 백분위를 자동 보장하지 않는다.
• 표준편차와 평균의 표준오차는 서로 다른 변동을 나타낸다.

자주 틀리는 부분

• 자료가 표본이라는 이유만으로 모든 기술분산을 무조건 $n-1$로 나누지 않는다.
• 표본분산과 표본표준편차가 모두 정확한 불편추정량이라고 보지 않는다.
• 기하평균과 조화평균을 산술평균이 필요한 상황에 바꾸어 쓰지 않는다.
• 같은 거리와 같은 시간의 평균 속도를 혼동하지 않는다.
• 섭씨온도나 평균 0 근처 자료의 CV를 일반적인 상대 산포로 해석하지 않는다.
• z점수 1.96을 분포 확인 없이 항상 97.5백분위라고 단정하지 않는다.
• 표준편차를 표준오차라고 부르거나 표본 수가 크면 관측값 산포가 자동으로 작아진다고 보지 않는다.
• 범주형 코드의 숫자에 평균을 계산해 의미를 부여하지 않는다.
• 평균과 중앙값 차이만으로 왜도 방향을 확정하고 그래프를 생략하지 않는다.
• 중간 계산을 일찍 반올림해 최종 분산·표준편차를 왜곡하지 않는다.