시계열 예측

핵심 요약

시계열의 추세·계절성·가법/승법 구조와 정상성·차분·ACF에서 AR·MA·ARIMA·지수평활, 시간순서 검증·오차지표·예측구간까지 계산 흐름으로 연결한다.

본문

추세·계절성·순환·불규칙과 가법·승법 구조

시계열은 관측 순서가 시간과 연결되므로 임의로 섞어 분석하면 미래 정보가 과거 학습에 들어갈 수 있다.

대표 구성요소는 다음과 같다.

• 추세: 장기적인 증가·감소
• 계절성: 일정한 주기로 반복되는 패턴
• 순환: 고정 주기는 아니지만 장기적으로 반복되는 변동
• 불규칙: 위 요소로 설명되지 않는 우연 변동

가법 구조는 변동의 크기가 수준과 크게 비례하지 않을 때 Y=T+S+E처럼 생각한다. 계절 변동 폭이 수준과 함께 커지면 Y=T×S×E 같은 승법 구조를 고려할 수 있다.

이동평균·정상성·차분·계절차분·ACF

이동평균은 인접 시점의 평균으로 단기 잡음을 완화한다. 창이 길수록 더 매끄럽지만 변화에 늦게 반응할 수 있다.

약한 정상성은 평균·분산이 시간에 따라 크게 변하지 않고 시차에 따른 공분산 구조가 안정적인 상태로 이해한다. 수준이 커질수록 변동폭도 커지는 자료에서는 로그 변환으로 분산을 안정화하는 방안을 검토할 수 있다. 추세가 있으면 1차 차분을 사용할 수 있다.

Δy_t = y_t - y_(t-1)

예를 들어 100,108,111의 1차 차분은 8, 3이다.

12개월 계절성이 강하면 y_t-y_(t-12) 같은 계절차분을 검토한다.

ACF는 현재값과 여러 시차의 과거값 사이 자기상관을 보여 준다. 차분 후 ACF가 빠르게 약해지고 평균 수준이 안정되는지 확인할 수 있다.

대표적인 비정상 시계열 예로 랜덤워크가 있다.

Y_t = Y_(t-1) + ε_t

에서 ε_t가 평균 0의 백색잡음이면 수준 Y_t에는 충격이 누적되어 분산이 시간에 따라 커질 수 있다. 반면 1차 차분은 ΔY_t = Y_t-Y_(t-1) = ε_t가 되어 주어진 가정 아래 백색잡음이 된다.

AR·MA·ARIMA와 ACF/PACF 기반 후보 모형

AR(p)는 과거 관측값, MA(q)는 과거 오차, ARIMA(p,d,q)는 차분 차수 d와 AR·MA 구조를 결합한다.

단순 AR(1)을

y_t = c + φ y_(t-1) + ε_t

로 두면 c=5, φ=0.8, 직전값이 20일 때 오차의 기대값을 0으로 본 1-step 예측은

5 + 0.8×20 = 21

이다.

전형적인 후보 탐색에서 AR 구조는 PACF, MA 구조는 ACF의 절단·감쇠 형태를 참고할 수 있지만 실제 모형 선택은 정보기준·잔차진단·검증 성능까지 함께 본다.

평균 0 AR(1) Y_t=φY_(t-1)+ε_t의 대표적인 정상성 조건은 |φ|<1이다. 예를 들어 φ=-0.8, 0, 0.4는 조건을 만족하지만 φ=1.05는 위반한다.

지수평활과 시계열 예측 계산

단순지수평활은 최근 관측에 가중치를 주어 수준을 갱신한다.

F_(t+1) = αY_t + (1-α)F_t, 0<α<1

α가 크면 최근 관측에 더 빠르게 반응한다.

이전 예측이 100, 실제값이 110, α=0.3이면 새 예측은

0.3×110 + 0.7×100 = 103

이다.

추세가 있으면 Holt, 추세와 계절성이 함께 있으면 Holt-Winters 계열을 고려할 수 있다.

잔차 진단·시간 순서 검증·예측오차·예측구간

좋은 시계열 모형의 잔차는 평균 0 부근에서 뚜렷한 자기상관이 남지 않는 백색잡음에 가까운 형태가 바람직하다. 잔차 ACF에 규칙적 패턴이 남으면 모형이 시간 의존 구조를 충분히 설명하지 못했을 수 있다.

검증은 시간 순서를 지킨다. 과거로 학습하고 미래 구간으로 평가하며, 실제 업무가 12주 앞 예측을 요구한다면 1주 앞 성능만으로 충분하지 않다.

대표 오차지표:

• MAE = 평균(|실제-예측|)
• RMSE = √평균((실제-예측)²)
• MAPE = 평균(|(실제-예측)/실제|)×100% — 실제값이 0이거나 매우 작으면 불안정할 수 있음

실제값 10,14, 예측값 12,13이면 오차 절댓값은 2,1이므로 MAE=1.5, 제곱오차는 4,1이므로 RMSE=√2.5≈1.5811이다.

점예측과 함께 예측구간을 보면 미래 불확실성을 표현할 수 있다. 일반적으로 예측 시점이 멀수록 불확실성이 커져 구간이 넓어질 수 있다.

시계열의 rolling-origin(확장창) 검증은 과거 구간으로 바로 다음 시점을 평가한 뒤 학습창의 끝을 앞으로 이동·확장하는 방식이다. 예를 들어 1~6월로 7월을 예측하고 실제 7월이 관측되면 1~7월로 8월을 예측하는 과정을 반복한다. 각 단계에서 평가 시점 이후의 미래 정보는 학습에 넣지 않는다.